古琴音樂中的分形幾何

　　在我國傳統(tǒng)音樂中，古琴是最古老的弦樂器之一?！稑酚洝酚小拔粽咚醋魑逑抑?，以歌南風”之說。清代著名琴家徐祺在《五知齋琴譜》中寫道：“昔者伏曦之王天下也。仰觀俯察，感榮河出圖，以畫八卦，聽八風以制音律，采峰山孤桐，合陰備陽，造為雅樂，名之曰琴?！绷硗庖灿腥苏f古琴是神農(nóng)或堯帝等創(chuàng)制的。這些雖出自傳說，無文字記載或?qū)崜?jù)可考，但在安陽殷墟墓葬中出土的文物中有兩件像琴的石器，且甲骨文中把音樂的樂字記為“”，這是以絲弦張附在木器上的象形，由此說明在殷商時代（即甲骨文產(chǎn)生之際）就已有了琴這一類樂器，大概是可信的[1]。由此亦可推知古琴應產(chǎn)生于殷商之際甚或在此之前，即古琴已存在三千多年了。

　　對于這樣一件產(chǎn)生于史前，而且?guī)缀跬暾蛔兊亓鱾髦两竦臉菲?，不僅在中國，即便是在全世界范圍也難以再找到第二個！因此，對古琴尤其是古琴音樂進行詳細的考察與研究，不僅能夠揭示我國古代音樂的發(fā)展變化情況，而且亦可從中透視出我國古代社會政治、經(jīng)濟和科技的發(fā)展與變化[2][3][4]。

　　對音樂進行研究，當今占據(jù)主導地位的有三種方法，即歷史的方法、分析的方法和比較的方法[5]。這三種方法在音樂研究中已經(jīng)取得了輝煌的成就，而且仍還有著非常廣闊的前景。但是，它們各自的研究范圍都比較狹小，或某一作品，或某一人某一派的作品，或某一時期的作品，或某一地域（或西方或東方或非洲或拉美）的作品，而不能從整體上研究范圍更廣的音樂現(xiàn)象。眾所周知，無論古今，不分地域，任何地方只要有人，就會有音樂，這就說明音樂必定有著某種屬性，它是一種與時空無關(guān)的非民族性的屬性，即音樂的自然屬性。可這種自然屬性究竟是什么呢？怎樣才能將它表示出來呢？我們認為，分形幾何為這一問題的解答提供了一種可能[6][7]。

　　二、分形幾何與音樂

　　分形幾何[8]的概念是由曼得勃羅在上世紀60年代末提出來的。它的主要思想是說，在不規(guī)則現(xiàn)象表面所呈現(xiàn)的雜亂無章的背后仍存在著規(guī)律，這個規(guī)律就是在放大過程中呈現(xiàn)出的自相似性。

　　在自然界中，分形現(xiàn)象普遍存在，俯拾即得。如：微觀世界中晶體的生長，相變過程和化學反應等；宇觀世界中太陽黑子的活動和星際空間物質(zhì)的分布等；宏觀世界中河流的走向，樹枝的分叉以及地震震級的分布等；就連我們?nèi)梭w血液循環(huán)系統(tǒng)中血管的分支和腦電波分布都是分形的。也就是說，自然界似乎存在著“分形者生存”這一規(guī)律。

　　既然我們賴以生存的這個世界到處都充滿著分形，既然我們的血管分支和腦電波都是分形的，因而想必在我們的潛意識中（或者是本能地）對分形現(xiàn)象定會有著某種默契或產(chǎn)生共鳴，或者說我們?nèi)艘财珢鄯中?，正是這種偏愛形成了音樂創(chuàng)作與欣賞在主體心理與對象間的鎖定。沃斯和科拉克[6]等人首先從實驗上證明了這一點，他們發(fā)現(xiàn)優(yōu)美動聽的音樂的音量是分形的，后來許氏父子（許靖華和安得魯·許）[7]又從理論上證明了古典音樂中旋律的進行也是分形的。

　　三、古琴音樂中的分形幾何

　　為了研究音樂的分形幾何，首先必須把它加以量化，因此撇開音樂的社會學定義不講，現(xiàn)在我們從數(shù)學上給它下一個定義：音樂是具有不同音高（頻率）的音的一種有序排列。既然如此，那么這種有序的數(shù)學表達是什么？隨意地敲擊琴鍵不會產(chǎn)生音樂，不同音的有序排列組成了旋律，這種排列是分形的嗎？如果答案是肯定的話，那么在一首音樂作品中兩相鄰音之間的音程i與其出現(xiàn)的幾率F應滿足下述關(guān)系：

　　F=C/iD或logF=C’-Dlogi

　　即音程i的對數(shù)與其出現(xiàn)幾率F的對數(shù)之間存在線性關(guān)系,也就是說以logF和logi為縱橫坐標作圖,則各點均應在同一直線上。其中D為該作品的分形維數(shù)（分維），C為比例系數(shù)，C’=logC。

　　許氏父子通過分析發(fā)現(xiàn)[8]，對于巴赫和莫扎特等古典音樂大師的作品，上述分形關(guān)系式均可確立，但對于現(xiàn)代無調(diào)性音樂作品，則無此種關(guān)系。為了對我國古代音樂進行深入的理解與研究，為了對東西方音樂的異同進行比較，下面我們也將使用這一方案對我國古琴音樂進行分析。

　　圖中與分形關(guān)系有較為顯著偏離的是i=7（純五度）和i=10（小七度）的過量。其實對于這種偏離也是不難理解的，根據(jù)和聲音程在聽覺上所產(chǎn)生的印象，音程可以分為協(xié)和音程與不協(xié)和音程兩類。兩音的頻率具有較小整數(shù)比的音程叫協(xié)和音程，屬于這一類的有極完全協(xié)和音程的純一度（1：1）和純八度（2：1）以及完全協(xié)和音程的純五度（3：2）和純四度（4：3）。所有這些音程聽起來都很悅耳，因而在優(yōu)美的樂曲中協(xié)和音程出現(xiàn)的幾率就較大，從而導致了對分形關(guān)系的偏離。類似的，由于不協(xié)和音程（小二度i=1，減五度i=6和大七度i=11等）在聽覺上給人的印象是比較刺耳，彼此很不融合，因而作曲家在創(chuàng)作時總是有意識地少用，這也就導致了與分形關(guān)系的偏離。

　　圖1B是巴赫《創(chuàng)意曲》No.1的旋律分形關(guān)系。人們曾評論說，巴赫的作品有著數(shù)學般的精確，如果這種精確是指在其作品分形關(guān)系成立嚴格程度的話，那么把圖1A和圖1B相比較可以看出，古琴曲《幽蘭》有著較巴赫《創(chuàng)意曲》No.1更為精確的數(shù)學。《幽蘭》曲早《創(chuàng)意曲》千年而作，況中國與德國又相距萬里之遙，且又分屬東西方兩種不同的文化圈，何以二者都服從分形關(guān)系呢？難道這只是偶然的巧合嗎？

　　為了更深入地理解這一問題，我們對大量的古琴曲[9]進行了統(tǒng)計分析，結(jié)果表明，絕大多數(shù)的樂曲中均存在著分形關(guān)系。特別是《陽春》和《華胥引》，它們有一個共同的特點是分形關(guān)系中的比例系數(shù)C＝1（即分形關(guān)系線延長與縱軸相交于O點），這與莫扎特的F大調(diào)《奏鳴曲》及A大調(diào)《奏鳴曲》完全一樣。一般認為，莫扎特的這兩首曲子有著圖畫般的絢麗，而古琴曲《陽春》和《華胥引》亦是音畫交融美妙無比。那么，這種對應僅是種巧合呢還是有著尚未發(fā)現(xiàn)的更深刻的原因？

　　與西方古典音樂相比，古琴音樂有以下幾個特點。

　?。?/span>1）同音重復和八度音出現(xiàn)的比例較大。究其原因，固然是因為同音重復（i=0）和八度音（i=12）屬于極完全協(xié)和音程，聽起來融合悅耳，但更主要的原因是古琴音樂大多來源于以民歌為基礎(chǔ)的琴歌，而民歌中同音重復的比例極大，這是一個帶有普遍性的規(guī)律，古今中外，概莫能外，如在莫扎特的取材于民歌而創(chuàng)作的A大調(diào)《奏鳴曲》的第一樂章中，同音重復的比例亦高達27％。

　　（2）幾乎沒有半音（i=1）和三整音（i=6）。與西方音樂不同，我國古代音樂大多采用五聲調(diào)式或以五聲調(diào)式為基礎(chǔ)的六聲調(diào)式與七聲調(diào)式。在五聲調(diào)式中根本就沒有半音和三整音，六聲調(diào)式中由于清角和變宮音的加入導致半音的出現(xiàn)，七聲調(diào)式中更由于在五聲調(diào)式的小三度音程中加入了不同的“偏音”，從而導致除半音外又出現(xiàn)了三整音，但鑒于半音和三整音聽起來比較刺耳，而且演奏起來也不易把握，故而出現(xiàn)頻率較低。

　　（3）小三度（i=3）的過量和大三度（i=4）的不足。眾所周知，由于漢語語言的音韻特點對音樂旋律的深刻影響，小三度在我國民族音階的發(fā)展過程中一直占有重要的地位，即使今天，在我國民間勞動歌曲的呼號聲中，多數(shù)情況下小三度也還占據(jù)主導地位，如京韻大鼓口語旋律在行腔時就呈現(xiàn)典型的三度音程特征。所以說，小三度的過量是很自然的。大三度不足的原因同樣來源于古琴曲的調(diào)式，如在五聲調(diào)式中，大三度只能存在于宮音與角音之間，這樣在一首樂曲中，除非是有意地采用大三度音程，否則它一定是不足的。

　?。?/span>4）復音程（i>12）出現(xiàn)的比例較大。西方古典音樂中復音程呈現(xiàn)的比例均在百分之一以內(nèi)，而在古琴音樂中復音程呈現(xiàn)的比例則在百分之幾到百分之十幾不等。這種差別可能來自于東西方人的心智模式（思維方式與思維習慣）的不同。國人一般是從整體上看待和把握事物，喜歡那種寬闊宏大的場面；而西方人通常是從細微之處認識和掌握事物，他們喜歡那種細致、嚴格、有確定界限的景觀。這種哲學上的認知差別反映在音樂中便造成了上述差異。

　　在分析中，我們還發(fā)現(xiàn)了一個不存在分形關(guān)系的例子，這就是著名的古曲《流水》。其實，出現(xiàn)這一現(xiàn)象也是不難理解的，為了模仿水流的自然響聲，為了表現(xiàn)流水的從容緩進和跌宕起伏，亦即為了表達流水的“洋洋乎”，曲作者過量地使用了小三度和純五度等音程，從而使得其他音程顯得相對不足，無法與其相匹配。但琴曲《流水》與西方現(xiàn)代無調(diào)性音樂（亦無分形關(guān)系存在）是不同的，在現(xiàn)代無調(diào)性音樂作品中，廣音程特別是某些不協(xié)和音程（如減五度）出現(xiàn)的幾率很大，甚至超過了狹音程，但在《流水》一曲中狹音程出現(xiàn)的幾率仍是最大的。

　　四、結(jié)論

　　音樂研究通常是從音樂的社會性（即社會歷史與民族文化）角度進行的。但是我們知道，音樂是一門藝術(shù)，也是一門科學。如何利用現(xiàn)代科學的成果進行音樂創(chuàng)作與音樂研究，是擺在音樂工作者面前的一個新問題。

　　本文利用分形幾何的特征與方法，證明了古琴音樂中的旋律是分形的，并且對中外音樂作品的異同進行了初步的比較分析。是否可以利用這種方法進行完整的音樂形態(tài)（如和聲與織體等）分析呢？是否可以利用這種技術(shù)進行音樂作品的改編呢？進一步的研究表明答案是肯定的。